OpenGL中的缩放旋转与平移

本章需要熟知线性代数中的旋转矩阵的知识。

坐标系的旋转（Rotate）

对于一个绝对矢量，在坐标系1下的坐标为$pos_1 = (x_1,y_1)$，在坐标系2下的坐标为$pos_2 = (x_2,y_2)$，已知坐标系1到坐标系2的旋转矩阵为$L_{12}$，则有关系式：

$pos_2 = L_{12}*pos_1$

该公式表示的是绝对矢量在不同坐标系下的坐标变换关系。

坐标系的平移（Translate）

通常采用扩维的方法表示坐标系的平移。对于旋转矩阵如下：

$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix}$

如果在$x$与$y$分量平移$u$和$v$，则有附加平移的旋转矩阵：

$\begin{bmatrix} a&b&u\\ c&d&v\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

此时原坐标$(x,y,z)$需要扩为$(x,y,z,w)$。

glm::mat4 glm::translate(glm::vec3 translation);

绝对矢量不随坐标系移动，因而平移项起作用，此时w=1

相对矢量无所谓平移，此时w=0。因此可以通过设置w的值来表示是否有平移。

auto world_pos = glm::vec3(l2w*glm::vec4(local_pos,1));
auto world_vel = glm::vec3(l2w*glm::vec4(local_vel,0));

坐标的缩放（Scale）

利用矩阵中对角元素对各个分量进行缩放。

glm::mat4 glm::scale(glm::vec3 scales);

轴角法：实现绕任意轴旋转

轴角法即给定一根轴线$n$和绕这个轴的旋转角度$\alpha$，求旋转矩阵。它实际上是罗德里格斯旋转公式（Rodrigues' Rotation Formula） (opens new window)，其形式如下：

罗德里格斯旋转公式

$R(n,\alpha)=cos(\alpha)I+(1-cos(\alpha))nn^T+sin(\alpha)N$

其中，$N$为轴$n$的叉乘矩阵表示。

来自 维基百科-罗德里格斯旋转公式（Rodrigues' Rotation Formula） (opens new window)

在glm中可以通过函数实现轴角法的旋转：

glm::mat4 glm::rotate(float rad, glm::vec3 axis);

SRT(缩放、旋转、平移)顺序

一般缩放必须先于旋转，旋转必须先于平移，因此应用顺序必须为：缩放、旋转、平移。SRT

glm::mat4 l2w = 
    glm::translate(glm::vec3(0.0f,0.5f,0.0f))
    * glm::rotate(glm::radians(45.0f),glm::vec3(0.0f,0.0f,1.0f))
    * glm::scale(glm::vec3(2.0f,1.0f,1.0f));

OpenGL中不同的空间以及转换矩阵

对象空间到世界空间（Local to World）[M]

对象空间中，模型本身为坐标原点；世界空间以世界中心为原点。

正如茶杯在对象空间原点，在桌子（世界空间）的左上角一样。

世界空间到视角空间（World to View）[V]

视角空间以观察点为原点。

正如我从桌子正前方观察桌子和茶杯。

视角空间到剪裁空间（View to Clip）[P]

经过投影矩阵的变换（经此变换，从右手系变为了左手系），让看的物体更加真实，符合透视规则。然后将屏幕以外的东西剔除剪裁。

为防止剪裁后屏幕非正方形而将物体压扁，需要在投影矩阵中“预判一下”，提前利用宽高比进行压缩。

NDC to Window

剪裁空间经过光栅化到窗口空间。此时将-1~1的浮点数坐标，转换为0~1920或1080的像素坐标系。

投影变换的实现

为了符合透视原理，也就是“近大远小”，为了让计算机能够渲染出这样的效果，我们需要一个定量的公式。假设$z$为物体距离眼睛的距离，从眼睛看向屏幕，前方为z正值，此时可以根据距离大小，将物体缩小$1/z$倍，即：

$\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x/z\\ y/z\\ \end{bmatrix}$

由于非线性，不容易用矩阵表示。

升维大法！！：利用矩阵变换将$z$分量搬运到$w$分量，然后规定从4维转回到3维矢量时，要额外除以他们的分量$w$，这样就可以实现，过程如下：

$\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ 0\\ z\\ \end{bmatrix}$

当降维时，所有分量除以$w$，则有：

$\left[ x/z,y/z,0/z \right]^T$

代码实现：

// 对于绝对矢量
glm::vec4 tmp4d_pos = v2c * glm::vec4(pos,1);
glm::vec3 new_pos = glm::vec3(
    tmp4d_pos.x / tmp4d_pos.w,
    tmp4d_pos.y / tmp4d_pos.w,
    tmp4d_pos.z / tmp4d_pos.w
);