Matlab在制导控制中的应用——科学计算

线性代数问题

特殊矩阵

• 对角矩阵

A = diag([1,2,3,4,5]);

• Hilbert矩阵（希尔伯特矩阵） (opens new window)

%% 返回阶数为 n 的 Hilbert 矩阵。Hilbert 矩阵是病态矩阵的典型示例。Hilbert 矩阵的元素由 H(i,j) = 1/(i + j – 1) 指定。
H = hilb(n);	% n阶Hilbert Matrix
inv_H = invhilb(n)	% n阶Hilbert矩阵的逆矩阵

• Hankel矩阵（汉克尔矩阵） (opens new window)

%% 返回其第一列是 c 并且其第一个反对角线下方的元素为零的 Hankel 方阵。
H = hankel([1,2,3,4])

H =

     1     2     3     4
     2     3     4     0
     3     4     0     0
     4     0     0     0

• Vandermonde矩阵（范德蒙德矩阵） (opens new window)

V = vander([1,2,3,4])

• Hadamard矩阵（阿达马矩阵） (opens new window)

%% 返回阶次为 n 的Hadamard 矩阵
% 每个元素都是+1或-1，每行都是互相正交的
H = hadamard(n);

基本运算

% 矩阵的行列式
det(A)

% 矩阵的迹
trace(A)

% 矩阵的秩
rank(A)

% 矩阵的范数
norm(A,options)

% 矩阵的特征多项式
poly(A)

% 多项式求值
polyval(a,x)	% a:多项式系数

% 矩阵的逆
inv(A)

矩阵的变换与分解

• 相似变换与正交分解

% 正交矩阵
orth(A)

% 化零矩阵
null(A)

• 矩阵的三角分解

% LU分解
[L,U] = lu(A)

• 对称矩阵的Cholesky分解

[D,P] = chol(A)

• 矩阵的奇异值分解

[L,A1,M] = svd(A)

代数方程求解

• 线性代数方程求解

%%%%%% 唯一解 %%%%%%
X = A\B

%%%%%% 无穷解 %%%%%%
A = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B = [1;3;2;6];
C = [A B];
[rank(A) rank(C)]		% 判断A C的秩均=2小于矩阵的阶次
Z = null(sym(A));		% 基础解系矩阵
x0 = sym(pinv(A))*B;	% 任意一特解
syms a1 a2;
x = Z * [a1; a2] + x0

%%% 对矩阵进行基本行变换（以此求解代数方程的解析解） %%%
C1 = rref(sym(C))

%%%%%% 方程无解 %%%%%%
% rank(A) < rank(C) 则无解
A = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B = [1;2;3;4];
x = pinv(A)*B
err = A*x - B

对于无解方程，利用Moore-Penrose pseudoinverse（摩尔-彭若斯广义逆） (opens new window)求解原方程最小二乘解

• Kronecker积与矩阵方程求解

help kron

% 一个例子是李雅普诺夫方程的求解
help lyap

• Riccati方程(黎卡提方程)求解

X = are(A,B,C)

求解微积分

微积分问题解析解

极限问题

limit(f,x,a);				% 求极限
limit(f,x,a,'right');		% 右极限
limit(f,x,a,'left');		% 左极限

导数问题

diff(f,x,n)		% 求解f在x的n阶导数
jacobian(f,x)	% 求多元函数f(x)的Jacobian矩阵
taylor(f,x,a)	% 求f在x=a处的泰勒展开
taylor(f,x,a,'Order',n)	% 求解f在x=a处的泰勒展开忽略n阶小量

级数求和

% 求解级数求和问题的解析解
symsum(f,k,a,b)			% 求通式f在指定变量k取遍[a,b]时的和【b = inf可行】

积分问题

int(f,var)			% 给出f对指定变量var的不定积分
int(f,var,a,b)		% 在指定区间上求解定积分

微积分问题数值解

差分及微分

% 差分
diff(y)

% n阶差分
diff(y,n)

% 内点中心差分：gf_n = (f_n+1 - f_n-1)/2
gradient(y)

积分数值解

S = integral(fun, xmin, xmax)

% 定义fun
fun1 = @(x)x.*exp(-x.^2);

function y = fun2(x)
y = x.*exp(-x.^2);
end

% 调用
S1 = integral(fun1,0,1);
S2 = integral(@(x)fun2(x),0,1);

多重积分数值解

% 二重闭环数值积分
S = integral2(fun,xmin,xmax,ymin,ymax);

% 三重闭环数值积分
S = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax);

常微分方程数值解

常微分方程求解函数

• 调用格式（函数用solver代替）

sol = solver(odefunc,tspan,y0);

函数名：ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23t ode23tb

常微分方程函数设置

% 相关函数
odeset()
odeget()

高阶常微分方程函数转换

$$ y^{(n)}=f(t,y,y^{'},y^{''},\dots,y^{(n-1)}) \ 通过增加一组状态变量\ x_1 = y,x_2= y^{'},x_3 = y^{''},x_n = y^{(n-1)}\ 则\ x_1^{'} = x_2\ x_2^{'} = x_3\ ...\ x_n^{'} = f(t,x_1,x_2,...,x_n) $$

求解优化问题

非线性方程组求解

x = fsolve(fun,x0);		% x0迭代初值
[x, fval] = fsolve(fun,x0);		% 带残差的调用格式

无约束的优化问题

% 单变量固定区间内最小值
x = fminbnd(fun, x1, x2[, options]);

% 多变量求最小值
x = fminsearch(fun,x0)	% x0搜索起点：标量为单起点；行向量为多个起点；列向量为单起点

约束下的优化问题

x = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);
% fun 函数
% x0 搜索起点
% A, b 线性不等约束（小于等于）
% Aeq, beq 线性等式约束
% lb, ub变量上下界约束
% nonlcon 非线性不等约束函数句柄

% 相关算法行为设置
help optimget
help optimset

% 举例
function [cx, ceqx] = func(x)
    cx = zeros(2,1);
    cx(1) = -x(1)+x(2)*sqrt(x(1)+20)-11;
    cx(2) = -x(1)-x(2)*abs(0.5*x(1)+1)-10;
    ceqx = [];
end

fun = @(x) exp(x(1))*(2*x(1)^2+3*x(2)^2+2*x(1)*x(2)+3*x(1)+4*x(2));
[x,fval] = fmincon(fun,[0 0],[],[],[],[],[],[],@func);

插值、拟合和统计

插值

% 一维插值
vq = interp1(x,v,xq);

% 二维插值
vq = interp2(x,y,v,xq,yq);

% 相关插值方法
doc interp1

拟合

% 多项式拟合
p = polyfit(x,y,n);		% n次多项式拟合

% 最小二乘法非线性曲线拟合
% 即给定特定待拟合曲线函数求解待定系数
a = lsqcurvefit(fun, a0, xdata, ydata)
a = lsqcurvefit(fun, a0, xdata, ydata, lb, ub);		% a0为待定系数初始搜索值；lb, ub为待定系数上下界

统计

均匀&正态分布随机数

% [0,1]均匀分布随机数
x = rand;
x = rand(n);
x = rand([sz1:szN]);	% 产生指定纬度的均匀分布矩阵
x = rand([3,2,3]) 		% 随机数组成的 3×2×3 数组

% [a,b]均匀分布随机数
x = a + (b-a)*rand;

% 正态分布[N(0,1)]随机数
x = randn;
x = randn(n);
x = randn([sz1:szN]);

% 正态分布[N(mu,sigma2)]随机数
x = mu + sigma * randn;

正态高斯分布

R = normrnd(mu, sigma)

泊松分布

R = poissrnd(lambda)

二项分布

% 二项分布
R = binornd(N,P)

% 负二项分布
R = nbinrnd(R,P)

卡方分布

% 卡方分布
R = chi2rnd(V)

% 非中心卡方分布
R = ncx2rnd(V,DELTA)

指数分布

R = exprnd(mu)

F分布

% F分布
R = frnd(V1, v2)
R = gamrnd(A, B)
R = geornd(p)

% 非中心F分布
R = ncfrnd(NU1, NU2, DELTA)

伽玛分布

R = hygernd(M, K, N)

学生氏T分布

% T分布
R = trnd(nu)

% 非中心T分布
R = nctrnd(V, DELTA)

瑞丽分布

R = raylrnd(B)

贝塔分布

R = betarnd(A, B)

对数正态分布

R = lognrnd(mu, sigma)

连续均匀分布

R = unifrnd(A, B)

离散均匀分布

R = unidrnd(N)

概率统计函数

% 极值
min()
max()

% 均值
M = mean(A)

% 中位数
MD = median(A)

% 标准差
S = std(A)

% 方差
V = var(A)

% 极差
R = range(A)

% 协方差
C = cov(A)
C = cov(A, B)

% 相关系数
R = corrcoef(A)
R = corrcoef(A, B)